Почему учёные никогда не смогут найти точного решения общей теории относительности

В ‎ньютоновской‏ ‎теории ‎тяготения ‎орбиты ‎вращения ‎вокруг‏ ‎отдельных ‎крупных‏ ‎масс‏ ‎являются ‎идеальными ‎эллипсами.‏ ‎Но ‎в‏ ‎общей ‎теории ‎относительности ‎существует‏ ‎дополнительная‏ ‎прецессия ‎за‏ ‎счёт ‎кривизны‏ ‎пространства-времени, ‎из-за ‎чего ‎орбиты ‎со‏ ‎временем‏ ‎сдвигаются, ‎иногда‏ ‎даже ‎измеряемо.‏ ‎Орбита ‎Меркурия ‎прецессирует ‎со ‎скоростью‏ ‎43″‏ ‎в‏ ‎сто ‎лет‏ ‎(1″ ‎–‏ ‎это ‎угловая‏ ‎секунда,‏ ‎1/3600 ‎градуса);‏ ‎меньшая ‎из ‎чёрных ‎дыр ‎OJ‏ ‎287 ‎прецессирует‏ ‎со‏ ‎скоростью ‎39° ‎за‏ ‎12 ‎лет‏ ‎орбиты.

Сложно ‎оценить ‎всю ‎революционность‏ ‎перехода‏ ‎от ‎ньютоновской‏ ‎точки ‎зрения‏ ‎на ‎Вселенную ‎к ‎эйнштейновской. ‎Согласно‏ ‎ньютоновским‏ ‎механике ‎и‏ ‎тяготению, ‎Вселенная‏ ‎полностью ‎детерминирована. ‎Если ‎бы ‎вы‏ ‎дали‏ ‎учёному‏ ‎массы, ‎местоположение‏ ‎и ‎импульсы‏ ‎всех ‎и‏ ‎каждой‏ ‎частиц ‎Вселенной,‏ ‎он ‎смог ‎бы ‎определить, ‎где‏ ‎будет ‎находиться‏ ‎и‏ ‎что ‎будет ‎делать‏ ‎каждая ‎частица‏ ‎в ‎любой ‎момент ‎в‏ ‎будущем.

В‏ ‎теории ‎уравнения‏ ‎Эйнштейна ‎тоже‏ ‎детерминистские, ‎и ‎можно ‎представить ‎нечто‏ ‎похожее:‏ ‎если ‎бы‏ ‎только ‎вы‏ ‎знали ‎массы, ‎позиции ‎и ‎импульс‏ ‎каждой‏ ‎частицы‏ ‎Вселенной, ‎вы‏ ‎могли ‎бы‏ ‎вычислить ‎что‏ ‎угодно,‏ ‎заглядывая ‎сколь‏ ‎угодно ‎далеко ‎в ‎будущее. ‎Но‏ ‎если ‎в‏ ‎ньютоновской‏ ‎вселенной ‎мы ‎можем‏ ‎записать ‎уравнения,‏ ‎управляющие ‎поведением ‎частиц, ‎во‏ ‎вселенной‏ ‎под ‎управлением‏ ‎общей ‎теории‏ ‎относительности (ОТО) ‎мы ‎даже ‎и ‎на‏ ‎это‏ ‎не ‎способны.‏ ‎И ‎вот,‏ ‎почему. ‎

Закон ‎всемирного ‎тяготения ‎Ньютона‏ ‎заменила‏ ‎ОТО‏ ‎Эйнштейна. ‎Он‏ ‎полагался ‎на‏ ‎концепцию ‎мгновенного‏ ‎действия‏ ‎на ‎расстоянии,‏ ‎и ‎был ‎весьма ‎простым. ‎Гравитационная‏ ‎константа ‎G‏ ‎в‏ ‎уравнении, ‎а ‎также‏ ‎величины ‎двух‏ ‎масс ‎и ‎расстояние ‎между‏ ‎ними‏ ‎– ‎вот‏ ‎все ‎факторы,‏ ‎определяющие ‎гравитационное ‎взаимодействие. ‎G ‎есть‏ ‎и‏ ‎в ‎теории‏ ‎Эйнштейна.

В ‎ньютоновской‏ ‎вселенной ‎каждый ‎массивный ‎объект ‎действует‏ ‎с‏ ‎хорошо‏ ‎определяемой ‎силой‏ ‎тяготения ‎на‏ ‎каждый ‎другой‏ ‎объект‏ ‎вселенной. ‎Можно‏ ‎определить ‎гравитационное ‎взаимодействие ‎между ‎каждой‏ ‎парой ‎существующих‏ ‎масс,‏ ‎а ‎потом ‎просто‏ ‎подсчитать ‎ньютоновское‏ ‎тяготение. ‎Эта ‎сила ‎также‏ ‎расскажет,‏ ‎как ‎именно‏ ‎будет ‎двигаться‏ ‎масса ‎(поскольку ‎F ‎= ‎ma),‏ ‎и‏ ‎так ‎вы‏ ‎сможете ‎определить‏ ‎эволюцию ‎вселенной.

Но ‎в ‎ОТО ‎эта‏ ‎задача‏ ‎куда‏ ‎как ‎сложнее.‏ ‎Даже ‎если‏ ‎бы ‎вы‏ ‎обладали‏ ‎той ‎же‏ ‎самой ‎информацией ‎– ‎местоположением, ‎массами‏ ‎и ‎импульсами‏ ‎всех‏ ‎частиц ‎– ‎а‏ ‎также ‎конкретной‏ ‎релятивистской ‎системой ‎отсчёта, ‎в‏ ‎которой‏ ‎они ‎определены,‏ ‎этого ‎не‏ ‎хватило ‎бы ‎для ‎описания ‎эволюции‏ ‎вселенной.‏ ‎Структура ‎величайшей‏ ‎теории ‎Эйнштейна‏ ‎слишком ‎сложна ‎даже ‎для ‎этого.

Вместо‏ ‎пустой‏ ‎трёхмерной‏ ‎решётки ‎размещение‏ ‎масс ‎заставляет‏ ‎“прямые” ‎линии‏ ‎изгибаться‏ ‎определённым ‎образом.‏ ‎В ‎ОТО ‎пространство ‎и ‎время‏ ‎считаются ‎непрерывными,‏ ‎но‏ ‎все ‎формы ‎энергии,‏ ‎в ‎т.ч.‏ ‎масса, ‎вносят ‎свой ‎вклад‏ ‎в‏ ‎кривизну ‎пространства-времени.‏ ‎Если ‎мы‏ ‎заменим ‎Землю ‎её ‎более ‎плотной‏ ‎версией,‏ ‎вплоть ‎до‏ ‎появления ‎сингулярности,‏ ‎деформация ‎пространства-времени ‎останется ‎точно ‎такой‏ ‎же;‏ ‎и‏ ‎только ‎внутри‏ ‎самой ‎Земли‏ ‎будут ‎заметны‏ ‎отличия.

В‏ ‎ОТО ‎движение‏ ‎и ‎ускорение ‎объекта ‎определяет ‎не‏ ‎суммарная ‎сила,‏ ‎действующая‏ ‎на ‎объект, ‎а‏ ‎кривизна ‎пространства‏ ‎(и ‎пространства-времени). ‎И ‎это‏ ‎сразу‏ ‎становится ‎проблемой,‏ ‎поскольку ‎кривизну‏ ‎пространства ‎определяет ‎вся ‎материя ‎и‏ ‎энергия,‏ ‎имеющаяся ‎во‏ ‎Вселенной, ‎и‏ ‎в ‎эту ‎информацию ‎входит ‎куда‏ ‎как‏ ‎больше,‏ ‎чем ‎просто‏ ‎позиции ‎и‏ ‎импульсы ‎массивных‏ ‎частиц.

В‏ ‎ОТО, ‎в‏ ‎отличие ‎от ‎ньютоновской ‎гравитации, ‎взаимодействие‏ ‎всех ‎масс‏ ‎также‏ ‎имеет ‎значение: ‎поскольку‏ ‎у ‎него‏ ‎также ‎есть ‎энергия, ‎оно‏ ‎также‏ ‎деформирует ‎ткань‏ ‎пространства-времени. ‎Если‏ ‎взять ‎два ‎массивных ‎объекта, ‎движущихся‏ ‎и‏ ‎ускоряющихся ‎друг‏ ‎относительно ‎друга,‏ ‎этот ‎процесс ‎также ‎будет ‎излучать‏ ‎гравитационные‏ ‎волны.‏ ‎Это ‎излучение‏ ‎идёт ‎не‏ ‎мгновенно, ‎а‏ ‎распространяется‏ ‎наружу ‎во‏ ‎все ‎стороны ‎со ‎скоростью ‎света.‏ ‎И ‎этот‏ ‎фактор‏ ‎невероятно ‎трудно ‎учесть.

Гравитационные‏ ‎волны ‎–‏ ‎это ‎волны ‎пространства-времени, ‎и‏ ‎они‏ ‎распространяются ‎в‏ ‎пространстве ‎со‏ ‎скоростью ‎света ‎во ‎всех ‎направлениях.‏ ‎И‏ ‎хотя ‎электромагнитные‏ ‎константы ‎не‏ ‎появляются ‎в ‎уравнениях ‎ОТО, ‎скорость‏ ‎гравитации‏ ‎без‏ ‎сомнения ‎равняется‏ ‎скорости ‎света.

Если‏ ‎вы ‎с‏ ‎лёгкостью‏ ‎можете ‎записать‏ ‎уравнения, ‎управляющие ‎любой ‎системой, ‎какую‏ ‎вы ‎только‏ ‎можете‏ ‎представить ‎в ‎ньютоновской‏ ‎вселенной, ‎даже‏ ‎этот ‎шаг ‎будет ‎невероятно‏ ‎трудным‏ ‎во ‎вселенной,‏ ‎управляемой ‎ОТО.‏ ‎Поскольку ‎так ‎много ‎всего ‎влияет‏ ‎на‏ ‎искривление ‎и‏ ‎эволюцию ‎пространства‏ ‎во ‎времени, ‎мы ‎часто ‎даже‏ ‎не‏ ‎можем‏ ‎записать ‎уравнения,‏ ‎описывающие ‎форму‏ ‎простейшей, ‎игрушечной‏ ‎модели‏ ‎вселенной.

Возможно, ‎наиболее‏ ‎ярким ‎примером ‎будет ‎простейшая, ‎игрушечная‏ ‎модель ‎вселенной:‏ ‎пустая,‏ ‎без ‎материи ‎и‏ ‎энергии, ‎не‏ ‎меняющаяся ‎во ‎времени. ‎Это‏ ‎вполне‏ ‎возможно, ‎и‏ ‎этот ‎особый‏ ‎случай ‎даёт ‎нам ‎старую ‎добрую‏ ‎и‏ ‎простую ‎особую‏ ‎теорию ‎относительности‏ ‎и ‎плоское ‎евклидово ‎пространство. ‎Это‏ ‎простейший‏ ‎и‏ ‎наименее ‎интересный‏ ‎случай ‎из‏ ‎возможных.

Плоское ‎пустое‏ ‎пространство‏ ‎без ‎материи,‏ ‎энергии ‎и ‎кривизны. ‎За ‎исключением‏ ‎небольших ‎квантовых‏ ‎флуктуаций,‏ ‎пространство ‎в ‎инфляционной‏ ‎Вселенной ‎становится‏ ‎таким, ‎невероятно ‎плоским, ‎только‏ ‎не‏ ‎на ‎двумерной‏ ‎плоскости, ‎а‏ ‎в ‎трёхмерном ‎пространстве. ‎Пространство ‎растягивается,‏ ‎уплощаясь,‏ ‎и ‎частицы‏ ‎быстро ‎разбегаются.

Сделаем‏ ‎шаг ‎в ‎сторону ‎усложнения: ‎возьмём‏ ‎точечную‏ ‎массу‏ ‎и ‎поместим‏ ‎её ‎куда-нибудь‏ ‎во ‎вселенной.‏ ‎И‏ ‎внезапно ‎пространство-время‏ ‎становится ‎чрезвычайно ‎сложным.

Вместо ‎плоского ‎евклидового‏ ‎пространства ‎мы‏ ‎получим‏ ‎искривлённое ‎пространство, ‎вне‏ ‎зависимости ‎от‏ ‎того, ‎насколько ‎далеко ‎мы‏ ‎отойдём‏ ‎от ‎массы.‏ ‎А ‎чем‏ ‎ближе ‎мы ‎будем ‎подходить, ‎тем‏ ‎быстрее‏ ‎пространство ‎будет‏ ‎“стекать” ‎по‏ ‎направлению ‎к ‎местоположению ‎этой ‎точечной‏ ‎массы.‏ ‎Мы‏ ‎обнаружим ‎определённое‏ ‎расстояние, ‎на‏ ‎котором ‎мы‏ ‎найдём‏ ‎горизонт ‎событий:‏ ‎точку ‎невозврата, ‎откуда ‎нельзя ‎сбежать,‏ ‎даже ‎двигаясь‏ ‎со‏ ‎скоростью, ‎сколь ‎угодно‏ ‎близкой ‎к‏ ‎скорости ‎света.

Пространство-время ‎гораздо ‎сложнее‏ ‎пустого‏ ‎пространства, ‎а‏ ‎мы ‎всего‏ ‎лишь ‎добавили ‎одну ‎массу. ‎И‏ ‎это‏ ‎было ‎первое‏ ‎точное ‎нетривиальное‏ ‎решение, ‎открытое ‎для ‎ОТО: ‎формула‏ ‎Шварцшильда, соответствующая‏ ‎невращающейся‏ ‎чёрной ‎дыре.‏ ‎

Как ‎внутри,‏ ‎так ‎и‏ ‎снаружи‏ ‎горизонта ‎событий‏ ‎шварцшильдовской ‎чёрной ‎дыры ‎пространство ‎течёт‏ ‎как ‎травалатор‏ ‎или‏ ‎водопад. ‎На ‎горизонте‏ ‎событий, ‎даже‏ ‎если ‎вы ‎будете ‎бежать‏ ‎(или‏ ‎плыть) ‎со‏ ‎скоростью ‎света,‏ ‎поток ‎пространства-времени ‎преодолеть ‎не ‎получится,‏ ‎и‏ ‎он ‎затянет‏ ‎вас ‎в‏ ‎сингулярность ‎в ‎центре. ‎Снаружи ‎горизонта‏ ‎событий‏ ‎другие‏ ‎силы ‎(например,‏ ‎электромагнетизм) ‎часто‏ ‎могут ‎справиться‏ ‎с‏ ‎гравитационным ‎притяжением,‏ ‎и ‎заставить ‎даже ‎падающую ‎внутрь‏ ‎материю ‎убежать.

За‏ ‎последнее‏ ‎столетие ‎было ‎найдено‏ ‎множество ‎других‏ ‎точных ‎решений, но ‎они ‎оказались‏ ‎незначительно‏ ‎сложнее. ‎Среди‏ ‎них:

• Решения ‎для‏ ‎идеальной ‎жидкости, где ‎энергия, ‎импульс, ‎давление‏ ‎и‏ ‎напряжение ‎жидкости‏ ‎определяют ‎пространство-время.

• Электровакуумные‏ ‎решения, где ‎могут ‎существовать ‎гравитационное, ‎электрическое‏ ‎и‏ ‎магнитное‏ ‎поля ‎(но‏ ‎не ‎массы,‏ ‎электрические ‎заряды‏ ‎или‏ ‎токи).

• Решения ‎со‏ ‎скалярными ‎полями, включающими ‎космологическую ‎константу, ‎тёмную‏ ‎энергию, ‎инфляционные‏ ‎варианты‏ ‎пространства-времени, ‎и ‎модели‏ ‎космологической ‎квинтэссенции.

• Решения‏ ‎с ‎одной ‎вращающейся ‎точечной‏ ‎массой (Керр),‏ ‎заряженной ‎(Рейснер-Нордстром)‏ ‎или ‎вращающейся‏ ‎и ‎заряженной ‎(Керр-Ньюман).

• Жидкостные ‎решения ‎с‏ ‎точечной‏ ‎массой (пространство ‎Шварцшильда-де‏ ‎Ситтера).

Вы ‎могли‏ ‎заметить, ‎что ‎эти ‎решения ‎чрезвычайно‏ ‎просты,‏ ‎и‏ ‎среди ‎них‏ ‎нет ‎простейшей‏ ‎гравитационной ‎системы,‏ ‎которую‏ ‎мы ‎постоянно‏ ‎рассматриваем: ‎Вселенную, ‎в ‎которой ‎две‏ ‎массы ‎гравитационно‏ ‎связаны‏ ‎друг ‎с ‎другом.

ОТО‏ ‎подвергали ‎научным‏ ‎испытаниям ‎бессчётное ‎множество ‎раз‏ ‎и‏ ‎накладывали ‎на‏ ‎неё ‎самые‏ ‎строгие ‎ограничения ‎из ‎всех, ‎использованных‏ ‎человеком.‏ ‎Первым ‎решением‏ ‎Эйнштейна ‎было‏ ‎вычисление ‎ограничения ‎слабого ‎гравитационного ‎поля‏ ‎вокруг‏ ‎единственной‏ ‎массы, ‎такой,‏ ‎как ‎Солнце;‏ ‎он ‎применил‏ ‎эти‏ ‎результаты ‎к‏ ‎нашей ‎Солнечной ‎системе ‎с ‎потрясающим‏ ‎успехом. ‎Эту‏ ‎орбиту‏ ‎можно ‎рассматривать ‎так,‏ ‎будто ‎Земля‏ ‎(или ‎любая ‎другая ‎планета)‏ ‎в‏ ‎свободном ‎падении‏ ‎движется ‎вокруг‏ ‎Солнца ‎по ‎прямой ‎линии ‎в‏ ‎своей‏ ‎системе ‎отсчёта.‏ ‎Все ‎массы‏ ‎и ‎источники ‎энергии ‎вносят ‎вклад‏ ‎в‏ ‎кривизну‏ ‎пространства-времени, ‎однако‏ ‎мы ‎можем‏ ‎вычислить ‎орбиту‏ ‎Земли‏ ‎и ‎Солнца‏ ‎лишь ‎приблизительно.

Эту ‎задачу ‎– ‎задачу‏ ‎двух ‎тел‏ ‎в‏ ‎ОТО – нельзя ‎решить ‎точно.‏ ‎Не ‎существует‏ ‎точного ‎аналитического ‎решения ‎для‏ ‎пространства-времени,‏ ‎содержащего ‎более‏ ‎одной ‎массы,‏ ‎и ‎считается, ‎что ‎такое ‎решение‏ ‎нельзя‏ ‎найти ‎(хотя‏ ‎это ‎пока,‏ ‎насколько ‎мне ‎известно, ‎не ‎доказано).

Мы‏ ‎лишь‏ ‎можем‏ ‎делать ‎предположения,‏ ‎и ‎либо‏ ‎делать ‎определённые‏ ‎приближения‏ ‎к ‎точному‏ ‎результату ‎(постньютоновский ‎формализм) или ‎изучать ‎определённую‏ ‎форму ‎задачи‏ ‎и‏ ‎пытаться ‎решить ‎её‏ ‎численно. ‎Развитие‏ ‎науки ‎численной ‎относительности, особенно ‎начиная‏ ‎с‏ ‎1990-х, ‎позволило‏ ‎астрофизикам ‎подсчитать‏ ‎и ‎определить ‎образцы ‎различных ‎типов‏ ‎гравитационных‏ ‎волн ‎Вселенной,‏ ‎включая ‎приблизительные‏ ‎решения ‎задачи ‎для ‎слияния ‎двух‏ ‎чёрных‏ ‎дыр.‏ ‎И ‎любая‏ ‎фиксация ‎волн‏ ‎на ‎LIGO‏ ‎или‏ ‎Virgo ‎возможна‏ ‎благодаря ‎наличию ‎этих ‎теоретических ‎работ.

Волновой‏ ‎гравитационный ‎сигнал‏ ‎первой‏ ‎пары ‎обнаруженных ‎коллаборацией‏ ‎LIGO ‎сливающихся‏ ‎чёрных ‎дыр. ‎Невероятно, ‎насколько‏ ‎хорошо‏ ‎совпадают ‎сырые‏ ‎данные ‎и‏ ‎теоретические ‎шаблоны, ‎демонстрирующие ‎нам ‎волновую‏ ‎последовательность.‏ ‎Для ‎получения‏ ‎теоретических ‎шаблонов‏ ‎потребовалось ‎невероятное ‎развитие ‎численной ‎относительности.

Учитывая‏ ‎всё‏ ‎это,‏ ‎существует ‎огромное‏ ‎количество ‎задач,‏ ‎которые ‎мы‏ ‎можем‏ ‎хотя ‎бы‏ ‎приблизительно ‎решить, ‎пользуясь ‎тем ‎поведением‏ ‎или ‎теми‏ ‎решениями,‏ ‎которые ‎мы ‎можем‏ ‎понять. ‎Мы‏ ‎можем ‎описать ‎происходящее ‎в‏ ‎негомогенной‏ ‎части ‎Вселенной,‏ ‎остальная ‎часть‏ ‎которой ‎является ‎гладкой ‎и ‎заполненной‏ ‎жидкостью,‏ ‎чтобы ‎узнать,‏ ‎каким ‎образом‏ ‎растут ‎регионы ‎с ‎повышенной ‎плотностью‏ ‎и‏ ‎сжимаются‏ ‎регионы ‎с‏ ‎пониженной ‎плотностью.

Мы‏ ‎можем ‎понять,‏ ‎как‏ ‎поведение ‎решаемой‏ ‎системы ‎отличается ‎от ‎ньютоновской ‎гравитации,‏ ‎а ‎потом‏ ‎применить‏ ‎эти ‎уточнения ‎к‏ ‎более ‎сложной‏ ‎системе, ‎которую, ‎возможно, ‎нельзя‏ ‎решить‏ ‎в ‎лоб.

Или‏ ‎мы ‎можем‏ ‎разработать ‎новые ‎численные ‎методы ‎для‏ ‎решения‏ ‎проблем, ‎неприступных‏ ‎с ‎теоретической‏ ‎точки ‎зрения; ‎такой ‎подход ‎имеет‏ ‎право‏ ‎на‏ ‎жизнь, ‎пока‏ ‎гравитационные ‎поля‏ ‎относительно ‎слабы‏ ‎(пока‏ ‎мы ‎не‏ ‎приближаемся ‎слишком ‎близко ‎к ‎слишком‏ ‎большой ‎массе).

В‏ ‎ньютоновском‏ ‎представлении ‎о ‎гравитации‏ ‎пространство ‎и‏ ‎время ‎– ‎абсолютные ‎и‏ ‎фиксированные‏ ‎величины. ‎В‏ ‎представлении ‎эйнштейновского‏ ‎пространства-времени ‎– ‎это ‎единая ‎объединённая‏ ‎структура,‏ ‎в ‎которой‏ ‎неразрывно ‎переплетаются‏ ‎три ‎пространственных ‎и ‎одно ‎временное‏ ‎измерение.

И‏ ‎всё‏ ‎же ‎ОТО‏ ‎бросает ‎нам‏ ‎несколько ‎уникальных‏ ‎вызовов,‏ ‎отсутствующих ‎в‏ ‎ньютоновской ‎вселенной. ‎Факты ‎таковы:

• Кривизна ‎пространства‏ ‎постоянно ‎меняется.

• У‏ ‎каждой‏ ‎массы ‎есть ‎своя‏ ‎энергия, ‎также‏ ‎меняющая ‎кривизну ‎пространства-времени.

• Движущиеся ‎через‏ ‎искривлённое‏ ‎пространство ‎объекты‏ ‎взаимодействуют ‎с‏ ‎ним ‎и ‎испускают ‎гравитационное ‎излучение.

• Все‏ ‎появляющиеся‏ ‎гравитационные ‎сигналы‏ ‎всегда ‎движутся‏ ‎со ‎скоростью ‎света.

• Скорость ‎объекта ‎относительно‏ ‎любого‏ ‎другого‏ ‎объекта ‎приводит‏ ‎к ‎релятивистской‏ ‎трансформации ‎(сжатие‏ ‎длины,‏ ‎растяжение ‎времени),‏ ‎которую ‎необходимо ‎учитывать.

Учтя ‎всё ‎это,‏ ‎в ‎большей‏ ‎части‏ ‎вариантов ‎пространства-времени, ‎которые‏ ‎вы ‎сможете‏ ‎придумать, ‎даже ‎в ‎относительно‏ ‎простых,‏ ‎описывающие ‎их‏ ‎уравнения ‎получатся‏ ‎настолько ‎сложными, ‎что ‎мы ‎не‏ ‎сможем‏ ‎найти ‎их‏ ‎решений.

Анимация ‎реакции‏ ‎пространства-времени ‎на ‎движение ‎массы ‎показывает,‏ ‎что‏ ‎пространство-время‏ ‎– ‎это‏ ‎не ‎просто‏ ‎некий ‎лист‏ ‎ткани;‏ ‎всё ‎пространство‏ ‎целиком ‎искривляется ‎в ‎присутствии ‎материи‏ ‎и ‎энергии.‏ ‎При‏ ‎этом ‎пространство-время ‎можно‏ ‎описать ‎полностью,‏ ‎учитывая ‎не ‎только ‎положение‏ ‎массивного‏ ‎объекта, ‎но‏ ‎и ‎его‏ ‎движение ‎во ‎времени. ‎Силы, ‎действующие‏ ‎на‏ ‎объект, ‎движущийся‏ ‎сквозь ‎Вселенную,‏ ‎определяются ‎как ‎его ‎текущим ‎местоположением,‏ ‎так‏ ‎и‏ ‎историей ‎его‏ ‎перемещения.

Один ‎из‏ ‎наиболее ‎ценных‏ ‎жизненных‏ ‎уроков ‎я‏ ‎получил ‎в ‎первый ‎день ‎первого‏ ‎математического ‎курса‏ ‎в‏ ‎колледже, ‎где ‎мы‏ ‎изучали ‎дифференциальные‏ ‎уравнения. ‎Профессор ‎сказал ‎нам:‏ ‎“Большую‏ ‎часть ‎существующих‏ ‎дифференциальных ‎уравнений‏ ‎решить ‎нельзя. ‎Большую ‎часть ‎дифференциальных‏ ‎уравнений,‏ ‎которые ‎можно‏ ‎решить, ‎вы‏ ‎решить ‎не ‎сможете”. ‎Такова ‎и‏ ‎ОТО‏ ‎–‏ ‎набор ‎спаренных‏ ‎дифференциальных ‎уравнений,‏ ‎и ‎сложности,‏ ‎с‏ ‎которыми ‎сталкиваются‏ ‎все, ‎её ‎изучающие.

Мы ‎даже ‎не‏ ‎можем ‎записать‏ ‎уравнения‏ ‎поля ‎Эйнштейна. ‎Описывающие‏ ‎большую ‎часть‏ ‎вариантов ‎пространства-времени ‎или ‎большую‏ ‎часть‏ ‎вселенных, ‎которые‏ ‎мы ‎можем‏ ‎себе ‎представить. ‎А ‎большинство ‎из‏ ‎тех,‏ ‎что ‎мы‏ ‎можем ‎записать,‏ ‎мы ‎не ‎можем ‎решить. ‎А‏ ‎большинство‏ ‎из‏ ‎тех, ‎что‏ ‎мы ‎можем‏ ‎решить, ‎не‏ ‎можем‏ ‎решить ‎ни‏ ‎я, ‎ни ‎вы, ‎и ‎ни‏ ‎кто-либо ‎ещё.‏ ‎Однако‏ ‎мы ‎можем ‎работать‏ ‎с ‎приближениями,‏ ‎позволяющие ‎нам ‎получать ‎осмысленные‏ ‎предсказания‏ ‎и ‎описания.‏ ‎И ‎в‏ ‎целом ‎это ‎наибольшее ‎приближение ‎к‏ ‎истине,‏ ‎достигнутое ‎кем-либо‏ ‎– ‎хотя‏ ‎путь ‎до ‎цели ‎ещё ‎очень‏ ‎долгий.‏ ‎И‏ ‎пусть ‎мы‏ ‎не ‎будем‏ ‎сдаваться, ‎пока‏ ‎не‏ ‎дойдём ‎до‏ ‎неё.